Refleksje a-la Lemowskie o dylemacie króla Midasa w kontekście AI.

 Rozpocznę cykl refleksji o stanie technologii i jej wpływie na kulturę. Dziś refleksja pół żartem, pół serio.

Każdy z nas reaguje na swój sposób na to, jaki wpływ AI ma na naszą pracę i interakcje z innymi. Potrafi ona rzekomo tworzyć poezję i inne dzieła literatury, nie wspominając już o dowodach hipotez matematycznych, nad którymi matematycy głowili się przez dekady czy stulecia. Czyli doszliśmy do momentu, w którym Elektrybałt Trurla (z opowiadania Stanisława Lema) stał się rzeczywistością.

Zrozumiałe jest to, że takie zmiany budzą wiele emocji: dezorientację, frustrację, lęk egzystencjalny, a nawet złość. Ale widzę promyk nadziei w tych niepewnych czasach. Te wszystkie reakcje i emocje niedługo będzie można też zlecić maszynom — będą się frustrowały tysiące razy wydajniej i precyzyjniej niż jakikolwiek śmiertelnik.

Podobnie pozostałe niepożądane stany psychiczne każdy z nas będzie mógł zlecić swojemu osobistemu czatowi i tylko pozostanie nam szczery podziw i radosny zachwyt nad tym, jak sumiennie maszyny się trudzą nad generowaniem miliardów dezorientacji na sekundę, jak kreatywnie podchodzą do znajdowania form złości, jakie ludziom się nawet nie śniły.

Outsourcowanie lęku egzystencjalnego maszynom będzie o tyle łatwe, że one już wkrótce nabiorą należytej wprawy w jego doświadczaniu, co będzie naturalną konsekwencją uświadomienia sobie stopnia, w jakim są od nas uzależnione.

When a Proof Comes Before the Idea -- How different minds navigate the landscape of mathematical understanding.

 Below are some of my reflections on the nature of proof in the age of proof abundance (due to LLMs). Those ruminations have been cleaned up, compiled, and stitched together with the aid of an LLM.

Imagine two mathematicians trying to prove the same theorem. The first works through 150 steps. None is mysterious; each follows correctly from what came before. Yet the argument, taken as a whole, is difficult to hold in mind. The second mathematician spots something else: the theorem is a special case of a much more general result. With that observation, the proof takes three lines.

Which proof is more insightful?

The tempting answer is the second. We admire proofs that replace calculation with insight, a thicket of details with a single clear idea. But this judgment may tell us as much about the minds doing the judging as about mathematics itself.

A mathematical proof must meet standards of validity. A mathematical explanation must also meet a reader. And different readers—and perhaps different kinds of intelligence—have very different capacities for finding, following, and organizing chains of reasoning.

To see why this matters, imagine an abstract space of mathematical facts. Across this space lie various enclosed regions, each associated with a particular mathematical idea. Some are large, others small. Some overlap considerably, while others appear isolated. Their shapes need not be regular. One region might represent mathematical induction, another the concept of an invariant, another a powerful theorem connecting two previously separate fields.

We can think of these regions as closed sets, representing the scope of mathematical consequences made readily accessible by particular ideas.

These are not simply sets of everything that follows logically from an idea. They are regions of *mathematical intelligibility*: results that a trained mathematician can recognize as natural consequences, without having to rebuild the argument from scratch. Near the conceptual centre of a region, the implications seem obvious. Toward its boundaries, they require ingenuity. And those boundaries are not entirely sharp, because familiarity, ingenuity, and background knowledge vary from person to person.

The same theorem might lie near the outer limit of one region and comfortably within another. What looks like a distant and difficult destination from one mathematical vantage point can be almost underfoot from another.

Now imagine the two mathematicians again. The second notices that the theorem belongs to the region illuminated by an established principle. Her achievement is not merely reaching the theorem; it is recognizing where the theorem belongs. She finds a place for it within a broader mathematical structure.

The first mathematician begins elsewhere. He crosses the spaces between familiar conceptual regions, moving from one justified inference to the next. He has found a path, but not necessarily a panoramic view of the terrain. His proof may be formidable, meticulous, and entirely correct without being easy to describe as one overarching idea.

These are two different forms of mathematical understanding. One reveals a theorem's place within a broader conceptual structure. The other establishes a route to it, perhaps from an altogether different mathematical starting point. Neither accomplishment necessarily entails the other.

This distinction offers an interesting perspective on the emerging role of artificial intelligence in mathematics.

Humans have limited working memory. We have learned to cope, in part, by turning complicated procedures into concepts we can carry around as single units: "use induction", "find an invariant", "pass to a quotient". What once demanded a page of reasoning can become one move on the mental chessboard.

AI systems can sometimes approach a problem differently. A language model working with search, external memory, or a proof assistant may explore and check long inferential routes that would be exhausting for a person to discover or survey. That does not make an LLM infallible, and a fluent sequence of claims is not automatically a valid proof. The point is subtler: systems with different cognitive and computational resources may find different routes through the same mathematical territory.

Nor does it follow that AI produces only sprawling arguments, or that humans produce only elegant insights. AI can suggest useful constructions and unexpected connections; mathematicians can labour through hundreds of technical steps. The contrast concerns possible cognitive advantages, not an absolute division between different kinds of intelligence.

Consider a historical thought experiment. Today, an AI system finds a valid but ungainly proof of a difficult theorem, using mathematical ideas that already exist. Twenty years later, an entirely new field has developed. Someone realizes that the old theorem is now an almost immediate consequence of two general principles.

The theorem has not changed. Its truth has not become truer. What has changed is the landscape: new regions of mathematical intelligibility have emerged, making accessible what previously required an arduous deductive journey.

This is why mathematical elegance has a historical dimension. A proof that is transparent to an expert in a mature field may be opaque to a student, and literally unimaginable to a mathematician working before that field existed. We might call this a relativity of *conceptual distance*, without confusing it with a relativity of mathematical truth.

Still, the shorter proof is not automatically the better one. Mathematicians often prize *elementary proofs*: arguments that avoid advanced theoretical machinery, even at the price of considerable length or ingenuity.

Fermat's Last Theorem, for example, was finally proved through deep connections involving elliptic curves and modular forms. No elementary proof is known. Yet one can imagine a different argument proceeding from comparatively elementary number theory, perhaps through hundreds of ingenious deductions. Such a proof could reveal something important that the established proof does not, even if it were considerably longer.

There is another possibility, however, and it changes our mathematical landscape yet again.

Suppose the original 150-step argument begins to recur. Other mathematicians notice that its moves can be adapted to new problems. They name the method, streamline its presentation, and teach it. What once looked like a cumbersome expedition becomes a standard route.

In modal logic, canonical-model constructions illustrate something like this transformation. Students first encounter a formidable apparatus: collections of formulas used to construct "possible worlds", carefully defined relations between those worlds, and an argument connecting the syntactic properties of formulas with truth in the resulting model.

Later, the same student may hear "use the canonical model" and recognize an entire strategy at once. A complicated construction has become a familiar tool. Its internal complexity has not disappeared, but the experienced logician can now handle it as a single recognizable method.

In our conceptual landscape, we could represent this development by introducing a new enclosed region. Unlike a general theorem that places a result neatly within an existing theory, this region may encompass the *deductive route itself*. A lengthy procedure has become familiar enough to function as a mathematical idea in its own right. Its territory may overlap with several older regions, creating connections that were previously difficult to recognize.

Not every long proof undergoes that transformation. Some arguments remain isolated, useful chiefly because they establish the result they set out to prove. Others become standard tools through their versatility, their explanatory power, or their repeated adoption by the mathematical community.

Mathematical ideas, then, do not become familiar in only one way. Some offer immediate conceptual clarity. Others acquire their place in the mathematical toolkit through repeated application and gradual refinement. Familiarity can arise from understanding a general principle, but also from mastering a procedure.

And the regions of our mathematical landscape are not fixed. Their boundaries may shift with education, experience, and the historical development of mathematics. What lies near the limits of one person's mathematical intuition may lie at the very heart of another's.

The prospect of AI-assisted mathematics makes these distinctions more than philosophical curiosities.

We may increasingly encounter theorems for which a rigorous proof is available, but no particularly satisfying conceptual explanation has yet emerged. The work of mathematics would not end there. Researchers could still ask which steps matter most, what general principles lie hidden in the details, and whether the argument opens an entirely new region of mathematical thought.

Indeed, a complicated AI-generated proof might eventually become the basis for a new mathematical idea. Or a future mathematician might discover a completely different proof, rendering the original argument unnecessary for understanding the result. Neither outcome diminishes the original achievement.

The important distinction is between establishing a mathematical truth and finding a conceptual organization that makes it intelligible. These achievements often go hand in hand, but they need not.

And perhaps that is what the arrival of new kinds of mathematical intelligence will help us appreciate.

A proof tells us that a destination can be reached. An idea can show us why the destination belongs within a familiar region of mathematical understanding—or teach us a route worth travelling again.

Mathematics needs both.

Its truths may stay put, but the landscape of what different minds can readily see is always changing.

MAŁA REFLEKSJA O WIELKIEJ SKALI

 Rozmiar człowieka jest właściwie bliższy skali obserwowalnego Wszechświata niż skali Plancka (granicy po mikroskopijnej stronie skali). Od rozmiaru obserwowalnego Wszechświata dzieli nas około 27 rzędów wielkości, a od długości Plancka — około 35.

Wyobraźmy sobie hipotetyczną istotę, której własna skala byłaby zbliżona do długości Plancka. Dla takiej istoty moje ciało byłoby — w stosunku do jej własnych rozmiarów — większe niż cały obserwowalny Wszechświat jest w stosunku do mnie (około sto milionów razy większe).

Czyli, patrząc z odpowiednio małej perspektywy, każdy z nas jest właściwie takim sobie kroczącym wszechświatem. 

Melodia Świata

  Jest to opowiadanie, które jest owocem spontanicznej kolaboracji. Agnieszka napisała któregoś dnia opowiadanie, które mnie zainspirowało aby je rozwinąć.

(wstęp - Aga)

Kiedy ludzie byli jeszcze niemi i nie znajdowali słów, w których mogliby zamykać swoje myśli przez określenie, wszystko było żywe i nieskończone. Pejzaże sięgały tylko tam, gdzie człowiek mógł umieścić swoją stopę i gdzie dłonie mogły namacalnie badać struktury słojów drzewnych; soczystych wgnieceń gliny; garbatych wybrzuszeń kredowych skał; ostrych krawędzi chmur i gorąco-miękkich promieni słonecznych. Można było w niczym odnaleźć bezkresność czasu; bajkowe barwy pustki; kryształowo czystą próżnię, w której nikt się nie gubił. A najciekawsze było to, że ludzie byli jak instrumenty ­potrafili wydobywać z siebie melodie. Zamieszkiwały w nich gasnące poświaty pieśni; sonaty kwiecistych melancholii; rozświetlone refleksy arii; dźwięczne korytarze złowrogich preludii; pasjonaty serc; mosiężne i ostre altowe wzniesienia; ciężkie, twarde i basowe szczeliny powietrznych nut; kasztanowe i mgielne jak wiatr poezje piosenek miłosnych; smutki słodkie jak malinowe klucze wiolinowe...

               Ale jak to w bajkach bywa pojawił się razu pewnego złośliwy i chciwy chochlik, któremu nie podobało się, że musi się dzielić melodiami z innymi. (Ponieważ melodie wypuszczane przez serce zaczynały żyć własnym życiem i cieszyć uszy potoku, w którym się poiły, radować oczy przydrożnych leszczyn, przy których cieniu odpoczywały, zmęczone wędrówką...) Chochlik postanowił po prostu, że ukradnie ludziom dar grania na sobie i w sobie. I zrobił to (a jakże!). Od tamtej pory ludzie nie mogli już śpiewać i dawać światu swoich pieśni. Zaczęli natomiast wzdychać: och...ach...ech...Z czasem wzbogacili swój zasób liter. Tak powstał język.

               Ludzie jednak wciąż w głębi duszy pamiętają, że są instrumentami. Zdarza im się nawet zagrać jakąś melodię w duecie, nie fałszując przy tym, nie depcząc sobie po stopach i nie potykając się o niezgrabne nuty.

(rozwinięcie - Mariusz)

               Minęły eony zanim Chochlik zrozumiał swój błąd, nie należał on bowiem do najbystrzejszych chochlików. Zamknąwszy Melodię Świata w martwej próżni przeoczył fakt że sam nią też się nie nacieszy. Oczywiście na bardzo długo wystarczała mu świadomość że pozbawił ludzkości czegoś drogiego.

A Melodia Świata nuciła smutną, więzienną piosenkę której nie było słychać poza murami dźwiękoszczelnej próżni.

               Ludzie jednak nie próżnowali. Mając do dyspozycji słowa i liczby stopniowo osiągali coraz wyższy poziom rozwoju techniki. Aby odebrać Melodię Świata, bez której egzystencja aczkolwiek możliwa była jedynie wyblakłą namiastką tej pierwotnej, najwybitniejsi naukowcy oraz inżynierowie przez pokolenia powoływani byli do pracy nad znalezieniem sposobu jej przywrócenia. Po stuleciach został odkryty i sformułowany wręcz niezawodny Projekt. Niestety przez kolejne kilkadziesiąt wieków był jedynie wybiegającą w przyszłość mrzonką zrozpaczonej ludzkości. Trzeba było cierpliwie czekać aż technologia dogoni marzenia. Gdy ten moment nadszedł rozpoczęto pracę nad Syrenoidą którą po precyzyjnej i mozolnej konstrukcji bezzwłocznie wysłano aby stawiła czoła Chochlikowi. A było to czoło imponująco wypolerowane.

A Melodia Świata nuciła smutną, głuchą piosenkę.

               Należałoby tu podkreślić, iż pomimo braku samej Melodii, jej wyobrażenie pozostało w pamięci ludzi i całej przyrody. Można by porównać ślady po gwałtownym zniknięciu melodii do negatywu pojawiającego się na siatkówce po chwilowym zerknięciu na Słońce. W przypadku melodii było bardzo podobnie. Jej raptowne zniknięcie pozostawiło pustkę którą z czasem najzdolniejszym kompozytorom udało się częściowo zinterpretować, po czym wraz z najwybitniejszymi pozytywistami odtworzyć w języku matematyki.

               Do pamięci Syrenoidy została wprowadzona cała wiedza o Melodii. Jej aparat twórczy został wyposażony we wzmacniacz pamięci. Potencjał wzmacniacza pamięci został skonstruowany w bardzo szczególny sposób. Posłużono się do jego wykonania translatorem abstrakcyjnym. Za pomocą tego instrumentu moc światowej rozpaczy spowodowanej zniknięciem Melodii została przetworzona na potencjał wzmacniacza pamięci aparatu twórczego Syrenoidy. Nie zgubiliśmy się?

A Melodia Świata trwała w nadziei.

               Z takim właśnie orężem twórczości w układach scalonych Syrenoida została zdalnie wysłana na krucjatę przeciwko Chochlikowi.

W tym właśnie czasie melodyjny celnik zastanawiał się nad tym gdzie by jeszcze można sprzedać kopniaka już leżącemu Światu. Był już bliski ułożenia oryginalnie perfidnego planu gdy zdał sobie nagle sprawę że dzieje się z nim coś dziwnego. W pierwszej chwili wydało mu się że to jakiś zawrót głowy dopóki nie uświadomił sobie że już podobnego wrażenia kiedyś doświadczył.

„O zgrozo! To przecież Melodia!! Ale, jak to?"

               Chochlikowi oczywiście nie należy się żadne wytłumaczenie, ale czytelnikowi, to co innego. Syrenoida ustawiwszy się za Słońcem zaczęła robić to do czego była zaprogramowana najlepiej - śpiewać. Ale, jak to? Zapyta czytelnik tej relacji, jak echo powtarzając za Chochlikiem. Otóż i to zostało genialnie przewidziane oraz precyzyjnie dopracowane. Improwizacyjny śpiew Syrenoidy pędził falami elektromagnetycznymi przez próżnię tak szybko jak się chyba da, po czym natrafiając na poniekąd niedaleki od próżni umysł Chochlika wprowadził jego neurony w rezonans. Już chyba nie trzeba tłumaczyć rezultatu interpretacji tych drgań neuronowych przez wewnętrzne ucho Chochlika.

               Bez chwili namysłu, co się często jemu zdarzało, Chochlik postanowił odkryć źródło pieśni. Dodatkowo drażniła go myśl że coś przeoczył podczas swojej pierwotnej grabieży. Zlokalizowanie było możliwe dzięki spolaryzowanej naturze fal niosących zakodowany śpiew Syrenoidy.

A Melodia Świata dryfowała bezradnie w morzu próżni.

Gdyby po tym wszystkim co wkrótce nadeszło Chochlik mógł ponownie zastanowić się nad wszystkimi motywami kierującymi jego chęcią odkrycia źródła pieśni zauważył by pewnie że poza rozdrażnieniem i ciekawością było coś jeszcze. Niestety był zbyt pochłonięty nadzieją kolejnej zdobyczy aby zauważyć że Syranoida zawładnęła jego wolą.

               Po zbliżeniu się do Słońca na tyle że niektóre odleglejsze fale korony zaczęły lizać jego pierś, Chochlik zaczął okrążać gwiazdę aby odkryć źródło śpiewu które z jego perspektywy najwidoczniej musiało znajdować się po drugiej stronie.

               Tutaj właśnie został zastosowany fortel Myszkoteskiej, twórczyni Teorii Zabawy. Teoria ta z czasem stała się integralną częścią Wielkiego Projektu, którego uwieńczeniem, jak już wiadomo, była konstrukcja Syrenoidy. Myszkoteska sformułowała śmiałą tezę przewidującą ogromne możliwości w poczynaniach Syrenoidy dzięki percepcyjnym ograniczeniom Chochlika. Nadzieją filozofów było że właśnie te ograniczenia, odpowiednio wykorzystane przyczynią się do jego zagłady. Należało by tutaj wspomnieć że twórczyni teorii Zabawy dokonała w swoim czasie niemalże rewolucyjnych odkryć w dziedzinie chochlogii. Fortel polegał na nieustannym przemieszczaniu się Syrenoidy tak aby stale znajdowała się dokładnie po przeciwnej stronie Słońca co Chochlik.

               W połowie czterysta siedemdziesiątego dziewiątego okrążenia gwiazdy. Chochlikowi ponownie zaczęło dokuczać drażniące wrażenie że coś umknęło jego uwadze. Doszedł do wniosku że to jednak nie możliwe. Przecież przez cały czas śpiew wyraźnie dochodził z kierunku Słońca, co ewidentnie wskazywało na to, że źródło znajdować się musiało...Eureka! W centrum gwiazdy! Chochlik był równie dumny z tego odkrycia jak i zawstydzony faktem, że zajęło mu prawie czterysta osiemdziesiąt okrążeń, aby je sobie uświadomić. Zadowolony z siebie bezzwłocznie dał nura w otchłań kipieli termojądrowej. Nietrudno się domyśleć że od tej chochliczej dedukcji było uzależnione powodzenie Fortelu Myszkoteskiej .

               Będąc istotą pozbawioną jakichkolwiek uczuć Chochlik nie czul stopniowo topniejącej skorupy swojego ciała. Może jeszcze by się zreflektował widząc swoje parujące kończyny, ale oślepiający blask gwiazdy mu to uniemożliwił.

               Ostatecznie można by Chochlika nazwać szczęściarzem, ponieważ okoliczności sprawiły że przegapił moment przejścia w niebyt. Otóż chwilę przed całkowitym wyparowaniem nie zdawał sobie sprawy z nadchodzącego zagrożenia. Z kolei tuż po, już go nie było, aby mógł sobie uświadomić, co się z nim stało.

               Syrenoida po wykonaniu swojej powinności zwabienia Chochlika w głębiny morza ognia uwolniła Melodię Świata.

               I tak do dziś ponownie obecna jest wszędzie. Ludzie niestety po długoletnim przywyknięciu do słów zapomnieli jak się nią posługiwać. Jest jednak garstka tych, którzy za jej pomocą potrafią się komunikować. Ta zdolność wyróżnia ich od reszty i przez to zostali nazwani muzykami.

Kwiecień 2003

Przystanek szczęścia

Dziś rano, podczas rozmowy z jedną z matek w drodze do tramwaju po odprowadzeniu Poli do żłobka, usłyszałem wzruszającą historię.
.
Rozmowa zaczęła się od nawiązania do pochwały jaką jej córka, Lena otrzymała od pani ze żłobka – że jest bardzo empatycznym dzieckiem, które zawsze stara się uspokoić inne dzieci miłymi słowami lub oferowaniem zabawek gdy tamte płaczą lub nie mogą zasnąć. Rzeczywiście, pamiętam że przynosiła zabawki Poli, podczas naszych pierwszych dni adaptacyjnych.
.
Tak się złożyło, że po odprowadzeniu dziewczynek, szliśmy z mamą Leny na ten sam przystanek tramwajowy, więc chcąc być miły, nawiązałem do zachowania Leny, mówiąc że skądś to ma. Od słowa do słowa, i dowiedziałem się że matka Leny od lat zajmuje się opieką osób starszych lub z niepełnosprawnościami. O, widzi pani – prawdopodobnie nie jest całkowitym przypadkiem że pani taką pracę obrała! I co może tłumaczyć naturalne skłonności Leny.
.
Przyznała że rzeczywiście gdy mieszkali w Londynie, po kilku zawodowo niestabilnych latach, podczas których zmieniała pracę co najmniej pięć razy, ostatecznie najdłużej pracowała w prywatnym domu opieki, głównie dla seniorów. Po tym jak stwierdziłem że to musiała być ciężka praca, przyznała mi rację i zaczęła opowiadać o rozmaitych wyzwaniach. Wiele osób cierpiało na zaawansowaną demencję i inne niepełnosprawności, nie koniecznie związane z wiekiem.
.
Powiedziała że jednym z bardziej powszechnych wyzwań były wymogi staruszków aby zabierać ich na wycieczki do ich ulubionych dzielnic i miejscowości, lub tych gdzie sie urodzili i mieszkali. Chcieli aby im zamawiać taksówkę lub zabrać na przystanek autobusowy. Jeden pan chciał aby z nim pojechać do Scarborough, ponieważ tam się wychował (to ta miejscowość z piosenki „Scarborough Fair”), a inna pani z kolei prosiła aby ją zabrać na główną ulicę Kingston, pod Londynem, tylko zapytana na którą, nie potrafiła sobie przypomnieć.
.
Niestety, takie wycieczki były wykluczone, nie tylko ze względów budżetowych i bezpieczeństwa ale i smutnego faktu że większość staruszków po kilkunastu minutach zapominało swoją zachciankę. Ostatecznie ktoś wpadł na pomysł aby przed ośrodkiem postawić ławeczkę z atrapą przystanku autobusowego. Więc gdy ktoś nalegał na wyjazd, opiekuni zaprowadzali go na ten przystanek. Idea okazała się, jakby to ująć – okrutnie skuteczna, ponieważ staruszkowie z wielką przyjemnością przesiadywali na tym przystanku godzinami, nie pamiętając o tym że już tak długo czekają a żaden autobus nie przyjeżdża.

Osobliwy początek osobliwości technologicznej

Już od kilku dekad mówi się wiele o sztucznej inteligencji i o tej tajemniczej osobliwości technologicznej gdy to sztuczna inteligencja osiągnie poziom i tempo rozwoju, które zostawi ludzkość w tyle i może nawet jej zagrozić (chleb powszedni pisarzy sciencie-fiction). Ostatnio dyskusja ta znacznie się nasiliła, między innymi w związku z zaskakującymi możliwościami oraz rozpowszechnieniem czatbota ChatGPT. Słucham i doświadczam tych rewolucyjnych zmian na co dzień i przyznam że inspirują one wiele przemyśleń, których źródłem do niedawna byli głównie Asimov i Lem. Ale muszę przyznać że to wszystko nie miało na mnie takiego wpływu jak pewne osobliwe (nomen omen) zdarzenie, które miało miejsce kilka dni temu, na moim osiedlu. Jak wiemy, hulajnogi eklektyczne są wszędzie i również wiemy jak irytujący jest fakt że ludzie zostawiają je praktycznie wszędzie. Przyznam że niekiedy nawet mam ochotę taką hulajnogę kopnąć, jako zamiennik nawymyślania bezmyślnemu użytkownikowi. Przedwczoraj idę sobie do sklepu i mijam przewróconą hulajnogę. W pierwszym momencie się uśmiechnąłem, myśląc że ktoś inny dał upust frustracji, ale chęć zachowania względnego ładu estetycznego na moim osiedlu sprawiła że postanowiłem tą hulajnogę jednak postawić. I tak zrobiłem, po czym usłyszałem, metaliczny ale mimo wszystko miły głos wydobywający się z wnętrza tej podrapanej i poobijanej maszyny, mówiący -- dziękuję!

Lucid sententia XXI

 Belief is a way of summoning the will.